Théorème de Darboux

Soit {f} une application dérivable sur {[a,b]}.
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b)}.

Pour {a\lt x\le b}, on pose {\varphi(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}.
On prolonge \varphi par continuité en a en posant {\varphi(a)=f'(a)}.
Pour {a\le x\lt b}, on pose {\psi(x)=\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}}.
On prolonge \psi par continuité en b en posant {\psi(b)=f'(b)}.
Ainsi définies, {\varphi} et {\psi} sont continues sur {[a,b]}.
On observe que {\varphi(b)=\psi(a)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}.
Ainsi {[\varphi(a),\varphi(b)]\cup[\psi(a),\psi(b)]} est un segment contenant {[f'(a),f'(b)]}.
Soit {\gamma} dans {[f'(a),f'(b)]}, donc dans {[\varphi(a),\varphi(b)]} ou {[\psi(a),\psi(b)]}.
Supposons par exemple {\gamma\in [\varphi(a),\varphi(b)]}.
La fonction {\varphi} étant continue, il existe {c} dans {[a,b]} tel que {\gamma=\varphi(c)}.
Si {c=a} alors {\gamma=f'(a)} sinon on peut écrire {\gamma=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}}.
Mais le théorème des accroissements finis donne {d\in ]a,c[} tel que {\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}=f'(d)}.
Le cas où {\gamma\in[\psi(a),\psi(b)]} se traite de manière analogue.

Dans tous les cas, {\gamma} est une valeur prise par {f'}, ce qui établit le théorème de Darboux: la dérivée f' d’une fonction f sur un intervalle obéit toujours à la propriété des valeurs intermédiaires (même si f' n’est pas continue).