Une suite de fonctions

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2010)
Soit, pour {n\in\mathbb{N}^*}, {f_n:x\mapsto x\,n^{1-x^2}}.
Étudier la convergence simple et uniforme de la suite {(f_n)_{n\geq 1}}.
Les fonctions {f_n} sont impaires. On peut donc se limiter à {x\ge0}.

On a toujours {f_n(0)=0} et {f_n(1)=1}.

Si {0\lt x\lt 1} on a {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}f_n(x)=+\infty}, et si {x>1}, on a {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}f_n(x)=0}.

Ainsi {(f_n)_{n\ge0}} converge simplement vers {f} définie par {\begin{cases}f(0)=0,\;f(1)=1\\f(x)=0\ \text{pour}\ x>1\end{cases}}
Pour {n\ge2}, on a {f_n(x)=nx\text{e}^{-x^2\ln(n)}}.

Ainsi {f'_n(x)=n\bigl(1-2x^2\ln(n)\bigr)\text{e}^{-x^2\ln(n)}} s’annule en {x_n=\dfrac{1}{\sqrt{2\ln(n)}}}, avec {0\lt x_n\lt 1}.

Pour {n\ge2}, la fonction {f_n} est donc positive décroissante sur {[1,+\infty[}, et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f_n(x)=0}.

La convergence de {(f_n)_{n\ge0}} vers {f} n’est pas uniforme sur {[1,+\infty[} (car {f} est discontinue en {1}).

Soit a>1. On a {\sup\limits_{x\ge a}\left|{f_n(x)}\right|=f_n(a)} qui tend vers 0 quand n\to+\infty.

La suite{(f_n)_{n\ge0}} est donc uniformément convergente vers {0} sur {[a,+\infty[}.