Une série de fonctions

Soient {p\in\mathbb{N}} et {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}.
Déterminer le domaine et la dérivabilité de {f}. Donner un équivalent de {f} en {0^+}.

  • Posons {f_n(x)=n^p e^{-nx}}.

    La série {\displaystyle\sum f_n(x)} est grossièrement divergente si {x\ge0}.

    Si {x>0}, on a {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^2f_n(x)=n^{p+2} e^{-nx}= 0} donc {\displaystyle\sum f_n(x)} converge.

    La fonction {f} est ainsi définie sur {\mathbb{R}^{+*}}.

    Pour a>0 : {\sup\limits_{x\ge a}\left|f^{(k)}(x)\right|=\sup\limits_{x\ge a}\left|(-1)^k n^{p+k}\text{e}^{-nx}\right|=n^{p+k}\text{e}^{-na}}.

    Mais n^{p+k}\text{e}^{-na} est le terme général d’une série numérique convergente.

    Ainsi les séries {\displaystyle\sum f_n^{(k)}} convergent normalement donc uniformément sur {[a,+\infty[}.

    On peut donc utiliser le théorème de dérivation répétée des séries de fonctions.

    On en déduit de {f} est de classe {\mathcal{C}^{\infty}} sur {[a,+\infty[}.

    En vertu du caractère local de la dérivabilité, {f} est {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}} et :
    {\forall\, k\in\mathbb{N},\;\forall\, x>0,\;f^{(k)}(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^k n^{p+k}\text{e}^{-nx}}

  • On va montrer que {f(x)\sim \dfrac{p!}{x^{p+1}}} quand x\to0.

    Pour cela, on va utiliser des encadrements par des intégrales.

    On fixe {x>0} (et on rappelle que l’entier {p\in\mathbb{N}} est lui aussi fixé).

    On définit la fonction {t\in\,\mathbb{R}^+\mapsto \varphi(t)=t^p\text{e}^{-tx}}.

    On a : {\forall\, t\in\mathbb{R}^+,\;\varphi'(t)=t^{p-1}(p-tx)\text{e}^{-tx}}.

    La fonction positive {\varphi} est donc décroissante pour {t\ge \dfrac{p}{x}}.

    Soit {N} un entier supérieur ou égal à {\dfrac{p}{x}}.

    Pour tout {n\ge N+1}, la fonction {\varphi} est décroissante sur {[n-1,+\infty[}.

    Il en résulte :{\displaystyle\int_{n}^{n+1}\varphi(t)\,\text{d}t\le \varphi(n)\le \displaystyle\int_{n-1}^{n}\varphi(t)\,\text{d}t}.

    En sommant sur {n\gt N} : {\displaystyle\int_{N+1}^{+\infty}\varphi(t)\,\text{d}t\le \displaystyle\sum_{n=N+1}^{+\infty}\varphi(n)\le \displaystyle\int_{N}^{+\infty}\varphi(t)\,\text{d}t}.

    D’autre part, une récurrence facile (intégration par parties répétées) donne : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\varphi(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{p}\text{e}^{-tx}\,\text{d}t=\dfrac{p!}{x^{p+1}}}

    Dans la suite de l’exercice, le signe \sim signifie « équivalent quand x\to0^+.

    On trouve : {\displaystyle\int_{N}^{+\infty}\varphi(t)\,\text{d}t=\dfrac{p!}{x^{p+1}}-\displaystyle\int_{0}^{N}t^{p}\text{e}^{-tx}\,\text{d}t\sim\dfrac{p!}{x^{p+1}}}.

    En effet {0\le \displaystyle\int_{0}^{N}t^{p}\text{e}^{-tx}\,\text{d}t\le \displaystyle\int_{0}^{N}t^{p}\,\text{d}t=\dfrac{N^{p+1}}{p+1}}.

    Ainsi : {\displaystyle\sum_{n=N+1}^{+\infty}\varphi(n)\sim\dfrac{p!}{x^{p+1}}}, donc {\;\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}n^p\text{e}^{-nx}-\displaystyle\sum_{n=0}^{N}n^p\text{e}^{-nx}\sim\dfrac{p!}{x^{p+1}}}.

    Mais la dernière somme ci-dessus a une limite finie quand {x\rightarrow0}.

    Finalement : {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}n^p\text{e}^{-nx}\sim\dfrac{p!}{x^{p+1}}} quand x\to0^+.