Polynômes et dérivations

Publié le 04/01/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2013)
Soient {P\in\mathbb{R}[X]} et {Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que si {P} est sans racine réelle alors {Q} aussi.

La somme définissant {Q} est finie, et {Q'=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k+1)}=\displaystyle\sum_{k\ge1}P^{(k)}=Q-P}.
Posons : {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\varphi(x)=Q(x)\text{e}^{-x}}.
Ainsi : {\forall\, x\in\mathbb{R},\;\varphi'(x)=(Q'(x)-Q(x))\text{e}^{-x}=-P(x)\text{e}^{-x}}.
Puisque {P} ne s’annule pas sur {\mathbb{R}}, il en est de même de {\varphi'}.
La fonction {\varphi} est donc strictement monotone sur {\mathbb{R}}.
Mais {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\varphi(x)=0} (par croissance comparée car {Q} est un polynôme).
Il en résulte que {\varphi} garde un signe strict constant donc ne s’annule pas sur {\mathbb{R}}.
Il en est donc de même pour le polynôme {Q(x)=\varphi(x)\text{e}^{x}}.