Mot clef : X-Ens

Endomorphismes tels que f2 = -Id

Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.

Équation différentielle de Legendre

On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):\ (1-x^{2})y''(x)-2xy'(x)+n(n+1) y(x)=0}.
2. Déterminer les solutions de {(E)} qui sont {\mathcal{C}^{2}} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.

Un exercice très improbable

On suppose {X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)}, {X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)}, et Y(\Omega)\subset\{-1,1\}, avec {p=\mathbb{P}(Y=-1)}.
On suppose {X_{1},X_{2},Y} indépendantes. Soit {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Donner la probabilité pour que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}).

Minimum d’une forme quadratique

On se donne un produit scalaire sur \mathbb{R}^n, un vecteur V de \mathbb{R}^n, une matrice D_1 de \mathcal{M}_n(\mathbb{R)}.
Soit f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} définie par {f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}. On montre alors que la fonction f possède un minimum absolu sur \mathbb{R}^n et on calcule la valeur de ce minimum.

Sommes de projecteurs

Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée A puisse s’écrire comme la somme de k matrices de projections A_1,A_2,\ldots,A_k vérifiant les égalités A_iA_j=0 pour tous i\ne j.

Valeurs d’adhérence

On définit l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite complexe bornée (u). On montre qu’il fermé non vide, et se réduit à un singleton si et seulement si (u) converge. On étudie enfin le cas des suites définies par une récurrence du type u_{n+1}=f(u_n).

Une approximation quadratique

On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} de {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}.
On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux.
On approxime {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.

Conservation du volume

Dans {E} euclidien de dimension {n}, soit {d\in\{1,\ldots,n\}}.
Si {(x)=(x_{1},\ldots,x_{d})\in E^d} est liée, on pose {m(x_{1},\ldots,x_{d}) =0}.
Sinon, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}((x))}.
On pose alors {m(x_{1},\ldots,x_{d}) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x_{1},\ldots,x_{d})\right|}.
Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
{\qquad\forall (x)\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x_{1},\ldots,x_{d})}
L’objectif de l’exercice est de prouver que {X_{d}=O(E)}

Diagonalisation de M->AM+MB

Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.