Mot clef : Séries entières

Exp(A), avec A antisymétrique

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Soient {(a, b, c)\in\,\mathbb{R}^{3}} et {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer qu’il existe {\,\theta\in\mathbb{R}} tel que {A^{3}=-\,\theta A}.
2. Montrer que : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\,\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}. Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
\quadCalculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tels que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.

Involutions et séries entières

Soit {X} un ensemble fini.
On dit que {f\colon X \rightarrow X} est une involution de {X} si {f\circ f = \text{Id}}.
Pour {n\in\mathbb{N}}, on note {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0} = 1}.
1. Calculer {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer que : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^*,\;I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que la série entière {S\colon x\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} possède un rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1 + x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.

Une série génératrice

Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}. En particulier {a_0=a_1=1}.
Soit {R} le rayon de convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}. Montrer {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {\forall n\ge 2,\;\;na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}
(pour une preuve de ce résultat, voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R} et exprimer {f(x)} à l’aide de fonctions usuelles.