Mot clef : Réduction

Trace rationnelle

Soient {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension {n} et {f\in \mathcal{L}(E)} tel que : {f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0} et {\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}.
Montrer que {n} est un multiple de {3}.

Diagonalisation et blocs

Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})}{\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?

Majoration de valeurs propres

Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, de polynôme caractéristique {P=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}.
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.

Endomorphismes tels que f2 = -Id

Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.