Mot clef : Python

Le parcours du cavalier

On demande de programmer et visualiser (en Python, avec le package turtle) le parcours d’un cavalier sur un échiquier. À partir d’une position initiale du cavalier, on s’attachera à décrire des trajectoires explorant la totalité de l’échiquier en passant une fois et une seule sur chaque case (voir l’article de Wikipedia). On pourra généraliser à des échiquiers de tailles différentes et/ou modifiés pour rendre certaines de leurs cases inaccessibles.

Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album.
Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.

L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend ici les notations et les résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme \varphi de {\mathbb{R}_{N}[X]} dans la base canonique.
Si {t\mapsto G_{n}(t)} est la fonction génératrice de {X_{n}}, on voit que {G_{n+1}=\varphi(G_{n})}.
On retrouve alors la relation {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}.

Répétitions de 0

Soit A une matrice à coefficients égaux à 0 ou 1.
On demande d’écrire une fonction Python (utilisant Numpy), prenant en argument une telle matrice, et renvoyant le plus grand nombre de zéros consécutifs dans A (horizontalement, verticalement, ou en diagonale montante ou descendante).

Matrices bistochastiques, épisode 9

Soit {B_{n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} la matrice de terme général {(b_{i,j})_{1\le i,j\le n}} définie par:
{\begin{cases}b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\dfrac{1}{2}\text{\ si }1\le i\lt n\\b_{1,1}=b_{n,n}=\dfrac{1}{2},\text{\ et\ }b_{i,j}=0\text{\ dans les autres cas}\end{cases}}On diagonalise B_n, on étudie la limite de ses puissances, et on illustre les résultats avec l’aide du langage Python.

Matrices bistochastiques, épisode 1

Soit {A=(a_{i,j})_{0\le i,j\le n-1}} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
On dit que A est {\mu}magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut {\mu}.
On dit que {A} est bistochastique si A est {1}-magique et si les {a_{i,j}} sont positifs ou nuls.
On note {\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre n.
On note {\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices de permutations {P_{\sigma}} d’ordre n.
On illustre ici ces notions avec Python.

La comète de Goldbach

La conjecture de Goldbach affirme que tout entier pair {n\ge4} peut s’écrire comme la somme de deux entiers premiers. On appelle comète de Goldbach le nuage des points {(k,g(k))}, où {k} décrit les entiers pairs dans un certain intervalle {[4,n]} et où {g(k)} désigne le nombre de façons d’écrire {k} comme la somme de deux nombres premiers. Dans cet article, on écrit les fonctions Python utiles pour produire le tracé de cette comète.

Euler 033

Trouver les couples {(n,d)} avec {n \lt d}, s’écrivant {n=xy} et {d=yz} en base 10, et telle que {\dfrac{n}{d}=\dfrac{xy}{yz}=\dfrac{x}{z}} (exemple {\dfrac{19}{95}=\dfrac{1}{5}}). On ne retiendra pas les solutions où {x=y}, qui sont considérées comme évidentes.

Euler 032

L’égalité {39\cdot186=7254} exprime {n=7254} en utilisant une fois et une seule tous les chiffres de {1} à {9}. Trouver la somme des entiers {n} qui ont cette propriété de {7254}, donc qui peuvent s’écrire {n=pq}, où la représentation décimale de {n,p,q} fait apparaître une fois et une seule chaque chiffre de {1} à {9}.