Mot clef : Python

Étude d’un temps d’attente

Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r. indépendantes de même loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p} ; {\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}.
Soit Y_k le temps d’attente de l’événement X_1+\cdots+X_n\ge k. On étudie la loi de Y_k, on calcule son espérance et un équivalent de celle-ci.

Nombres de Bell, formule de Dobinksi

On note {B_n} le nombre de partitions d’un ensemble à {n} éléments.
On montre la relation {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k}, puis l’égalité {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}\; x^n=e^{e^x-1}}.
On termine par {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).

Recherche de rep-units

On admet que tout {n\in\mathbb{N}} impair non multiple de {5} a un multiple {N} ne s’écrivant (en base {10}) qu’avec des {1}. L’objet de cet exercice est de programmer la recherche de N, et d’étudier pour quelles valeurs de n l’entier N a une longueur record

Élimination de jetons sur un cercle

On dispose en cercle {n} jetons numérotés de {0} à {n- 1} (comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro {0}, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.

Jetons bicolores

Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2nd est d’une couleur différente du 1er, on le retourne. On étudie le nombre {X_{k}} de faces bleues après {k} étapes, et la loi-limite de X_k quand k\to+\infty

Des milliers de décimales de π

On considère un développement x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}p_k\,u_k, où {u_k=\dfrac{(k!)^2\,2^{k}}{(2k+1)!}}.
Il dit régulier si {\begin{cases}\forall k\ge1,\; 0\le p_k\le 2k\\\forall n\ge1,\;\exists m\ge n, p_m\lt 2k\end{cases}}
On étudie la convergence de ces développements, et un algorithme réduisant (par reports de retenues) à sa forme régulière le développement de 10^nx, avec n\in\mathbb{N}. On en déduit une fonction Python donnant des milliers de décimales de \pi.

Des milliers de décimales de e

On utilise les notations de l’article précédent (« Base de numération factorielle »).
Connaissant la représentation factorielle d’un réel x, et pour tout entier n, on étudie un algorithme donnant la décomposition factorielle de 10^n x.
Application: on programme le calcul de milliers de décimales de e.