Mot clef : Polynômes

Forme linéaire et produit scalaire

On munit {E=\mathbb{R}[X]} du produit scalaire {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?

Procédé de Gram-Schmidt

On munit {\mathbb{R}_4[X]} du produit scalaire {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.

Une base orthonormale de R[X]

Dans {\mathbb{R}[X]}, on pose {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}, {\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;} et {\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.

Majoration de valeurs propres

Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, de polynôme caractéristique {P=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}.
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.

Équation différentielle de Legendre

On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):\ (1-x^{2})y''(x)-2xy'(x)+n(n+1) y(x)=0}.
2. Déterminer les solutions de {(E)} qui sont {\mathcal{C}^{2}} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.