Tag Archives: Polynômes

Inversion d’une matrice

Soit {M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}}{m_{i,j}=0} si {j>i} et {m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}} si {j\leq i}.
Calculer l’inverse {M^{-1}} de la matrice M.

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Polynômes et dérivations

Soient {P\in\mathbb{R}[X]} et {Q=\displaystyle\sum_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que si {P} est sans racine réelle alors {Q} aussi.

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Polynômes scindés simples

Soit {P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\in \mathbb{R}[X]} de degré {n\ge 1}, scindé simple dans \mathbb{R}.
Montrer que le polynôme {P} n’a pas deux coefficients consécutifs nuls.

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Le coefficient trinomial central

Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2+X+1)^n}.
Trouver une relation de récurrence entre les {a_n}.

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Polynômes positifs sur IR+

Soit {P\in\mathbb{R} [X]}. Montrer que {(a)\Leftrightarrow(b)}:
(a) {\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}
(b) {\exists(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2},\;P(X)=A^{2}+XB^{2}}

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