Mot clef : Mpsi/Pcsi

Isomorphisme entre L(E) et E^n

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {(e_{k})_{1\le k\le n}} dans {E}.
Soit {\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}} défini par {\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}. Montrer que {\varphi} est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si {(e_{k})_{1\le k\le n}} est une base de {E}.

Des livres sur une étagère

On range {n} livres au hasard sur une étagère, dont {a} sont d’un auteur A, les autres étant d’auteurs tous différents. Donner la probabilité qu’au moins {m} livres de A soient côte à côte dans les cas suivants :
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}

Femmes célibataires non syndiquées

Dans une entreprise de 800 employés, il y a : 300 hommes, 352 syndiqué(e)s, 424 marié(e)s, 188 hommes syndiqués, 166 hommes mariés, 208 syndiqué(e)s et marié(e)s, 144 hommes mariés syndiqués. Combien y a-t-il de femmes célibataires non syndiquées?