Mot clef : Mpsi/Pcsi

Matrices bistochastiques, épisode 4

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable

Matrices bistochastiques, épisode 1

Soit {A=(a_{i,j})_{0\le i,j\le n-1}} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
On dit que A est {\mu}magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut {\mu}.
On dit que {A} est bistochastique si A est {1}-magique et si les {a_{i,j}} sont positifs ou nuls.
On note {\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre n.
On note {\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices de permutations {P_{\sigma}} d’ordre n.
On illustre ici ces notions avec Python.

Forme linéaire, matrices semblables

Soit {\varphi} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
1. Montrer : {\exists\,!\,\,A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}.
2. On suppose que : {\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\forall\, P \in \text{GL}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}.
\quadMontrer : {\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}.

Polygônes réguliers

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Soit n\in\mathbb{N}, n\ge 3. On pose \omega=\text{e}^{2i\pi/n}
Soit {W_{n}= (\omega^{r(s-1)})} (avec {1\le r\le n-2} et {1\le s\le n}) dans {{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}.
1. Déterminer le rang de {W_{n}}.
2. Vérifier que : {\forall\, k\in [[1,n- 1]],\;\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}\omega^{k\ell} = 0}. Donner une base de {\text{Ker}(W_{n})}.
3. Caractériser les polygones réguliers à {n} sommets de sens direct.

Un développement asymptotique

On considère l’équation (E_n):\text{e}^x=x^n, avec n\in\mathbb{N}.
1. Montrer que pour n assez grand (E_n) a dans {\mathbb{R}^{+*}} deux solutions {u_{n}\lt v_{n}}.
2. Montrer que la suite {(u_{n})} converge vers une limite {\ell} que l’on précisera
\quadDonner un équivalent de {u_{n}-\ell} quand {n} tend vers {+\infty}.
3. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}} puis donner un équivalent de {v_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de {v_{n}}.