Mot clef : Mpsi/Pcsi

Recherche de rep-units

On admet que tout {n\in\mathbb{N}} impair non multiple de {5} a un multiple {N} ne s’écrivant (en base {10}) qu’avec des {1}. L’objet de cet exercice est de programmer la recherche de N, et d’étudier pour quelles valeurs de n l’entier N a une longueur record

Élimination de jetons sur un cercle

On dispose en cercle {n} jetons numérotés de {0} à {n- 1} (comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro {0}, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.

Rang et inégalités

Soient {E} et {F} deux espaces vectoriels de dimension finie et {f,g\in{\mathcal L}(E,F)}.
Montrer {|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}.

Probabilité de tirages monotones

On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.

Moyenne de permutations

Soit {(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}, et S_n l’ensemble des permutation de [[1,n]].
Pour {\sigma\in S_{n}} soit {f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})} définie par {\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}.
Identifier l’application {p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}.

Réduction simultanée

Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie, et {f,g\in{\mathcal L}(E)} tels que {\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}
On cherche une base où les matrices de f et g sont très simples.

Itérées d’une transformation du plan

Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.

Des milliers de décimales de e

On utilise les notations de l’article précédent (« Base de numération factorielle »).
Connaissant la représentation factorielle d’un réel x, et pour tout entier n, on étudie un algorithme donnant la décomposition factorielle de 10^n x.
Application: on programme le calcul de milliers de décimales de e.

Le théorème chinois

Soit {n_1,n_2,\ldots,n_r} dans {\mathbb{N}^*}, premiers entre eux deux à deux. Soit {N=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{r}n_k}.
Il existe un unique x\in[\![0,N-1]\!] tel que x\equiv n_j\mod n_j pour tout j.
Ce résultat est communément appelé théorème chinois. L’objet de cet article est de programmer le calcul de x en Python (deux méthodes).

Coefficients de Bézout

Soient {m,n} dans {\mathbb{N}^*}, avec {m\wedge n=1}.
Il existe une infinité de {(u,v)\in\mathbb{Z}^2} tel que {um+vn=1}.
Il existe en particulier un couple {(u,v)} unique tel que {\left|u\right|\le n/2} et {\left|v\right|\le m/2}.
L’objet de cet article est de programmer deux méthodes (l’une itérative, l’autre récursive) de calcul des deux entiers u et v.

Le gâteau

On voit ici une application des équations différentielles à un problème de la vie quotidienne. Il s’agit de servir un gâteau à nos invités à une heure précise, mais celui-ci doit être à la bonne température. Facile si on connaît la loi de Newton.