Mot clef : Mpsi/Pcsi

Suites C-convergentes

Une suite {(u_{n})} est dite C-convergente si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}.
Donner un exemple de suite {C}-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers {0} est {C}-convergente.
Soit {\alpha\in\,]0, 1[}. Montrer que la suite {n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}} est {C}-convergente.

Réflexions conjuguées

Soient {H_{1}, H_{2}} deux hyperplans de {E} euclidien. On note {s_{i}} la réflexion par rapport à {H_{i}}.
Montrer que {s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}, où {s_{3}} est la réflexion par rapport à {H_{3}=s_2(H_1)}.

Racine carrée de la dérivation?

Soient {E_{1}} le plan de {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} engendré par x\mapsto\sin x et x\mapsto \cos x.
Existe-t-il {u\in{\mathcal L}(E_1)} tel que : {\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}?
Existe-t-il {v\in{\mathcal L}(E)} tel que : {\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}?