Mot clef : Mpsi/Pcsi

Polygônes réguliers

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Soit n\in\mathbb{N}, n\ge 3. On pose \omega=\text{e}^{2i\pi/n}
Soit {W_{n}= (\omega^{r(s-1)})} (avec {1\le r\le n-2} et {1\le s\le n}) dans {{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}.
1. Déterminer le rang de {W_{n}}.
2. Vérifier que : {\forall\, k\in [[1,n- 1]],\;\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}\omega^{k\ell} = 0}. Donner une base de {\text{Ker}(W_{n})}.
3. Caractériser les polygones réguliers à {n} sommets de sens direct.

Un développement asymptotique

On considère l’équation (E_n):\text{e}^x=x^n, avec n\in\mathbb{N}.
1. Montrer que pour n assez grand (E_n) a dans {\mathbb{R}^{+*}} deux solutions {u_{n}\lt v_{n}}.
2. Montrer que la suite {(u_{n})} converge vers une limite {\ell} que l’on précisera
\quadDonner un équivalent de {u_{n}-\ell} quand {n} tend vers {+\infty}.
3. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}} puis donner un équivalent de {v_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de {v_{n}}.