Mot clef : Mpsi/Pcsi

Deux premiers succès consécutifs

Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre {p}, on note p_n la probabilité d’obtenir à la date n, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre {p_{n+3}}, {p_{n+2}}, {p_{n+1}} et {p_{n}}.

Majoration de valeurs propres

Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, de polynôme caractéristique {P=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}.
Montrer que : {\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}.

Indépendance de formes linéaires

Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.

Déplacements dans Z2

Un module, initialement en {(0,0)}, se déplace dans {\mathbb{Z}^2} dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note {A_{n}=(X_{n},Y_n)} sa position à l’instant {n}, et {Z_{n}} sa distance à l’origine.
Donner {\text{E}(X_{n})}, {\text{V}(X_{n})}. Montrer que {\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}, et calculer {\mathbb{P}(Z_{n}=0)}.