Mot clef : Mpsi/Pcsi

Inégalités entre distances

Soit {x,y,z,t} quatre vecteurs d’un espace vectoriel normé E. Montrer que:
{\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|}

Quand le nombre d’urnes est infini

Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?.

Étude d’un temps d’attente

Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des v.a.r. indépendantes de même loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p} ; {\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}.
Soit Y_k le temps d’attente de l’événement X_1+\cdots+X_n\ge k. On étudie la loi de Y_k, on calcule son espérance et un équivalent de celle-ci.