Mot clef : Mp/Pc/Psi

Nombres de Bell, formule de Dobinksi

On note {B_n} le nombre de partitions d’un ensemble à {n} éléments.
On montre la relation {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k}, puis l’égalité {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}\; x^n=e^{e^x-1}}.
On termine par {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).

Rayon(s) de convergence

Soit R le rayon de convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}. On note {S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}.
Montrer que {R=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}.

Endomorphisme intégral

Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les valeurs propres et les vecteurs propres de {\Phi}.