Mot clef : Mp/Pc/Psi

Commutant d’un nilpotent

Soit {u \in{\mathcal L}(E)}, avec \dim(E)=n. On suppose {u^{n}=0} et {u^{n-1}\ne0}.
Déterminer les sous-espaces vectoriels de {E} stables par {u}.
Déterminer {\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}. Quelle est sa dimension?

Interversion série-intégrale

On suppose que {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}a_{n}} converge absolument. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.