Mot clef : Mp/Pc/Psi

Exp(A), avec A antisymétrique

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Soient {(a, b, c)\in\,\mathbb{R}^{3}} et {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer qu’il existe {\,\theta\in\mathbb{R}} tel que {A^{3}=-\,\theta A}.
2. Montrer que : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\,\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}. Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
\quadCalculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tels que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.

Mouvement circulaire

Soit le système différentiel {(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}}, avec {\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}
1. Discuter l’existence et l’unicité de la solution {t\mapsto M(t)=(x(t),y(t),z(t))}.
2. Montrer que la trajectoire est incluse dans une sphère et un plan.
3. Reconnaître l’intersection de cette sphère et de ce plan.
4. Résoudre directement {(S)} et retrouver le résultat de 3).

Involutions et séries entières

Soit {X} un ensemble fini.
On dit que {f\colon X \rightarrow X} est une involution de {X} si {f\circ f = \text{Id}}.
Pour {n\in\mathbb{N}}, on note {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0} = 1}.
1. Calculer {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer que : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^*,\;I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que la série entière {S\colon x\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} possède un rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1 + x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.