Mot clef : Mp/Pc/Psi

Un exercice très improbable

On suppose {X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)}, {X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)}, et Y(\Omega)\subset\{-1,1\}, avec {p=\mathbb{P}(Y=-1)}.
On suppose {X_{1},X_{2},Y} indépendantes. Soit {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Donner la probabilité pour que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}).

Valeur propre commune

Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.

Série entière et série numérique

Rayon de convergence de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.

Fonctions Zeta et Zeta alternée

Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.