Mot clef : Mp/Pc/Psi

Racine carrée de la dérivation?

Soient {E_{1}} le plan de {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} engendré par x\mapsto\sin x et x\mapsto \cos x.
Existe-t-il {u\in{\mathcal L}(E_1)} tel que : {\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}?
Existe-t-il {v\in{\mathcal L}(E)} tel que : {\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}?

Commutant d’un nilpotent

Soit {u \in{\mathcal L}(E)}, avec \dim(E)=n. On suppose {u^{n}=0} et {u^{n-1}\ne0}.
Déterminer les sous-espaces vectoriels de {E} stables par {u}.
Déterminer {\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}. Quelle est sa dimension?