Mot clef : Mp/Pc/Psi

Équation différentielle de Legendre

On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):\ (1-x^{2})y''(x)-2xy'(x)+n(n+1) y(x)=0}.
2. Déterminer les solutions de {(E)} qui sont {\mathcal{C}^{2}} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.

Tir au laser sur une bactérie

Toutes les secondes à partir de {t = 1}s, on tire au rayon laser sur une bactérie.
Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité {p\in\,]0,1[}.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par {r + 1} tirs de laser, avec {r\in\mathbb{N}^{*}}.
Soit {X} la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis {\text{E}(X)}.

Un endomorphisme de matrices

Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et \varphi défini par : {\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, {\varphi(M)=AM-MB}.
Montrer que si {\alpha\in\text{Sp}(A)} et {\beta\in\text{Sp}(B)}, alors {\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}.
Si {\varphi(M)=\lambda M}, montrer que : {\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}.