Tag Archives: Mp/Pc/Psi

L’urne d’Ehrenfest, épisode 2

On reprend ici les notations et les résultats de l’épisode 1.
On forme ici la matrice de transition associée à ce processus de Markov, et on l’interprète comme celle d’un endomorphisme \varphi de {\mathbb{R}_{N}[X]} dans la base canonique.
Si {t\mapsto G_{n}(t)} est la fonction génératrice de {X_{n}}, on voit que {G_{n+1}=\varphi(G_{n})}.
On retrouve alors la relation {\text{E}(X_{n+1})=1+\Bigl(1-\dfrac{2}{N}\Bigr)\text{E}(X_{n})}. …Lire l’article…

L’urne d’Ehrenfest, épisode 1

Une urne contient {N} boules indiscernables au toucher, de couleur bleue ou rouge.
On répète la « manipulation » suivante : « tirer une boule au hasard de l’urne et la remplacer par une boule de la couleur opposée »
On note {X_{n}} le nombre de boules bleues après la {n}-ième manipulation.
Dans cette partie, on calcule {\text{E}(X_{n})} et sa limite quand {n\rightarrow+\infty}.…Lire l’article…

Une équation fonctionnelle

On cherche à déterminer les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= 0\text{\ et \ }\forall x\in\mathbb{R}^{+*},\;f(x+1)+f(x)=\dfrac{1}{x}}

  1. 1. Montrer qu’il existe au plus une fonction {f} vérifiant ces conditions.
  2. 2. Montrer que, pour tout {x\in\mathbb{R}^{+*}} et tout {n\in\mathbb{N}^*} :
    {f(x)+(-1)^{n-1}f(x+n)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^k}{x+k}\quad(E_{n})}
  3. 3. Montrer que {f} existe. Est-elle continue ? intégrable sur {[1,+\infty[} ?


Cliquer ici pour voir le corrigé

Une intégrale à paramètre

Soit {f\colon x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}. On rappelle : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt\pi}{2}}

1. Domaine de {f\,}? Montrer que {f} est dérivable sur {\mathbb{R}^{+*}}.
2. Donner un équivalent simple de {f'} au voisinage de {+\infty}.
3. Donner un développement de {f} à deux termes en {+\infty}.


Cliquer ici pour voir le corrigé

Pavage par des dominos

Soit {{\mathcal U}_{n}} une surface rectangulaire de 4*n cases.
Soit {u_{n}} le nombre de façons de remplir {{\mathcal U}_{n}} par des dominos (horizontaux ou verticaux).
On voit ci-dessous un exemple de remplissage du rectangle {{\mathcal U}_{9}}.
article-28-01-17-fig1

  1. 1. Trouver une relation de récurrence vérifiée par les {u_{n}}.
    Indication : comment la dernière colonne a-t-elle été remplie?
  2. 2. Écrire une fonction Python permettant de calculer {u_n}.
    Vérifier, par exemple, que {u_{30}=21096536145301}.
  3. 3. On définit le polynôme {P(x)=x^4-x^3-5x^2-x+1}
    Déterminer les racines {x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}\lt x_{4}} de P.
    Vérifier numériquement avec Python.
  4. Prouver que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n}=\dfrac1{\sqrt{29}}(-x_{1}^{n+1}-x_{2}^{n+1}+x_{3}^{n+1}+x_{4}^{n+1})}
  5. 4. Montrer que, sur un intervalle à préciser: {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}x^n=\dfrac{1-x^2}{P(x)}}


Cliquer ici pour voir le corrigé

Matrices bistochastiques, épisode 9

On se donne un entier {n\ge3}.
Soit {B_{n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} la matrice de terme général {(b_{i,j})_{1\le i,j\le n}} définie par:
{\begin{cases}b_{i,i+1}=b_{i+1,i}=\dfrac{1}{2}\text{\ si }1\le i\lt n\\b_{1,1}=b_{n,n}=\dfrac{1}{2}\\b_{i,j}=0\text{\ dans tous les autres cas}\end{cases}}La matrice {B_n} est visiblement bistochastique.
  1. Écrire une fonction Python, d’argument {n}, renvoyant {B_{n}} (au sens de Numpy).
  2. Justifier que {B_{n}} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, à valeurs propres toutes distinctes.
  3. Diagonaliser effectivement la matrice {B_{n}} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
    Indication: chercher les valeurs propres sous la forme \lambda=\cos(2\theta).
  4. Déterminer la limite de {B_{n}^{m}} quand {m} tend vers {+\infty}.
  5. Illustrer ce qui précède avec Python.


Cliquer ici pour voir le corrigé