Tag Archives: Mp/Pc/Psi

Équation aux dérivées partielles

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Soit {u_{0}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} une fonction de classe {{\mathcal C}^{1}}.
On cherche les fonctions {u : (t,x) \in\mathbb{R}^{2}\mapsto u(t,x) \in\mathbb{R}} de classe {{\mathcal C}^{1}} telles que :
{(\star)\quad\forall\,(t,x)\in\mathbb{R}^{2},\;\dfrac{\partial u}{\partial t} + 2tx\dfrac{\partial u}{\partial x} = 0\quad\text{et}\quad u(0,x) = u_{0}(x)}…Lire l’article…

Transmission d’information

(exercice issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
On s’intéresse à la transmission d’un bit de donnée à travers une succession de convertisseurs indépendants (avec la même probabilité 0\lt p\lt 1 que le bit soit conservé lors de son passage dans un convertisseur donné). On observe la limite de la probabilité que le bit initial soit correctement transmis à l’isse du nième convertisseur. …Lire l’article…

Des milliers de décimales de π

On considère un développement x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}p_k\,u_k, où {u_k=\dfrac{(k!)^2\,2^{k}}{(2k+1)!}}.
Il dit régulier si {\begin{cases}\forall k\ge1,\; 0\le p_k\le 2k\\\forall n\ge1,\;\exists m\ge n, p_m\lt 2k\end{cases}}

On étudie la convergence de tels développements, et un algorithme permettant (par reports de retenues) de réduire à sa forme régulière le développement de 10^nx, avec n\in\mathbb{N}.
On en déduit une fonction Python donnant des milliers de décimales de \pi. …Lire l’article…