Mot clef : Logique

Le dernier non effacé

On écrit à la suite tous les entiers de {1} jusqu’à {2017}. On les efface de {3} en {3} : d’abord {1}, puis {4}, puis {7}, etc. On recommence sur la liste restante 2,3,5,6,8,9,11,\ldots et ainsi de suite. Quel est le dernier nombre affiché, et au bout de combien d’itérations? Illustrer tout cela avec Python.

Les coureurs

En {n} points distincts d’une piste circulaire, {n} coureurs sont prêts à partir.
Au top départ, chacun démarre en choisissant aléatoirement un sens de rotation. Quand deux coureurs se rencontrent, ils font demi-tour et repartent immédiatement. Tous les coureurs vont à la même vitesse, et cette vitesse reste constante. Montrer qu’au bout d’un certain temps, tous se retrouvent à leur point de départ.

La dernière moyenne

On écrit une liste de n nombres réels. On en efface deux, pris au hasard, pour les remplacer par leur demi-somme. On répète cette opération jusqu’à ce qu’il reste un seul réel X. Quelle est la valeur minimum possible pour X? Illustrer avec Python.

Pavage par des dominos

On s’intéresse au nombre u_n de façons de remplir un rectangle 4\times n par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les {u_{n}}. On écrit une fonction Python calculant {u_n}. On donne une expression des u_n et on étudie leur série génératrice.

Répétitions de 0

Soit A une matrice à coefficients égaux à 0 ou 1.
On demande d’écrire une fonction Python (utilisant Numpy), prenant en argument une telle matrice, et renvoyant le plus grand nombre de zéros consécutifs dans A (horizontalement, verticalement, ou en diagonale montante ou descendante).