Tag Archives: Intégration

Une équation fonctionnelle

On cherche à déterminer les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= 0\text{\ et \ }\forall x\in\mathbb{R}^{+*},\;f(x+1)+f(x)=\dfrac{1}{x}}

  1. 1. Montrer qu’il existe au plus une fonction {f} vérifiant ces conditions.
  2. 2. Montrer que, pour tout {x\in\mathbb{R}^{+*}} et tout {n\in\mathbb{N}^*} :
    {f(x)+(-1)^{n-1}f(x+n)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^k}{x+k}\quad(E_{n})}
  3. 3. Montrer que {f} existe. Est-elle continue ? intégrable sur {[1,+\infty[} ?


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Une intégrale à paramètre

Soit {f\colon x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}. On rappelle : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt\pi}{2}}

1. Domaine de {f\,}? Montrer que {f} est dérivable sur {\mathbb{R}^{+*}}.
2. Donner un équivalent simple de {f'} au voisinage de {+\infty}.
3. Donner un développement de {f} à deux termes en {+\infty}.


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Interversion série-intégrale

Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}, divergente.

Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}}.


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Suite d’intégrales et série

1. Montrer que les fonctions {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sont intégrables sur {]0,1[}.
\quadOn note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}. En déduire un équivalent de {I_{n}}.

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Calcul d’une intégrale

Existence et calcul de l’intégrale {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}.

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Une intégrale à paramètre

Étudier la fonction {x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}

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Intégrale et série de fonctions

Soient f\,\colon x\in\,\mathbb{R}^{+*}\,\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n+x} et g\,\colon x\in\,\mathbb{R}^{+*}\,\mapsto \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{x-1}}{t+1}\text{d}t.
Montrer que f et g sont bien définies. Comparer f et g.

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