Mot clef : Intégration

Quand le nombre d’urnes est infini

Pour {k\in [[1,p]]}, l’urne numéro {k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire {2n} boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu {n} boules noires? Quelle est sa limite quand p\to+\infty?.

Interversion série-intégrale

On suppose que {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}a_{n}} converge absolument. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.

Séries de primitives

Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\sum f_n} converge, et déterminer sa somme

Une approximation quadratique

On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} de {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}.
On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux.
On approxime {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.