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Un calcul d’extrema lié

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan 2015, filière Psi)
Soit {n} dans \mathbb{N}^{*} et {\lambda} dans \mathbb{R}^{+*}.
Soit {A_{\lambda}=\Big\{x\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}, et {f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; x\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}.
On étudie les extrema de f sur A_{\lambda}.

Question de point fixe

Soit {(E,\|\;\|)} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {\forall (x,y)\in K^2}, {x\ne y} {\Rightarrow} {\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}.
1. Montrer qu’il existe un unique {c\in K} tel que {f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K}. On pose: {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que la suite {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.