Mot clef : Espaces vectoriels normés

Inégalités entre distances

Soit {x,y,z,t} quatre vecteurs d’un espace vectoriel normé E. Montrer que:
{\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|}

Valeurs d’adhérence

On définit l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite complexe bornée (u). On montre qu’il fermé non vide, et se réduit à un singleton si et seulement si (u) converge. On étudie enfin le cas des suites définies par une récurrence du type u_{n+1}=f(u_n).

Un calcul d’extrema lié

Soit {n} dans \mathbb{N}^{*} et {\lambda} dans \mathbb{R}^{+*}.
Soit {A_{\lambda}=\Big\{x\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}, et {f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; x\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}.
On étudie les extrema de f sur A_{\lambda}.

Question de point fixe

Soit {(E,\|\;\|)} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {\forall (x,y)\in K^2}, {x\ne y} {\Rightarrow} {\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}.
1. Montrer qu’il existe un unique {c\in K} tel que {f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K}. On pose: {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que la suite {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.