Mot clef : Espaces préhilbertiens

Une approximation quadratique

On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} de {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}.
On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux.
On approxime {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.

Une approximation quadratique

Pour P,Q dans \mathbb{R}[X], on pose {\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.
  1. Montrer que c’est un produit scalaire. Calculer {\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)} pour {(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}
  2. On définit {f\colon (a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n\mapsto{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.
    Montrer que f possède un minimum sur {\mathbb{R}^{n}}, et le calculer.

Un orthogonal non supplémentaire

On munit {E=\mathscr{C}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\text{d}t}.
Avec {\begin{cases}F=\{f\in E,\;\forall t\in[-1,0],\;f(t)=0\}\\G=\{g\in E,\;\forall t\in[0,1],\;g(t)=0\}\end{cases}}, montrer que {\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}}.
Montrer pourtant que F et G ne sont pas supplémentaires dans E.