Mot clef : Ensam

Valeur propre commune

Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.

Diagonalisation et déterminant

Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}{m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres.
Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.

Endomorphisme intégral

Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les valeurs propres et les vecteurs propres de {\Phi}.

Séries de primitives

Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\sum f_n} converge, et déterminer sa somme

Recherche de rep-units

On admet que tout {n\in\mathbb{N}} impair non multiple de {5} a un multiple {N} ne s’écrivant (en base {10}) qu’avec des {1}. L’objet de cet exercice est de programmer la recherche de N, et d’étudier pour quelles valeurs de n l’entier N a une longueur record

Élimination de jetons sur un cercle

On dispose en cercle {n} jetons numérotés de {0} à {n- 1} (comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro {0}, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.

Rang et inégalités

Soient {E} et {F} deux espaces vectoriels de dimension finie et {f,g\in{\mathcal L}(E,F)}.
Montrer {|\text{rg}(f)-\text{rg}(g)|\le\text{rg}(f + g)\le\text{rg}(f) + \text{rg}(g)}.

Jetons bicolores

Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2nd est d’une couleur différente du 1er, on le retourne. On étudie le nombre {X_{k}} de faces bleues après {k} étapes, et la loi-limite de X_k quand k\to+\infty