Mot clef : Dénombrements

Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album.
Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.

Les coureurs

En {n} points distincts d’une piste circulaire, {n} coureurs sont prêts à partir.
Au top départ, chacun démarre en choisissant aléatoirement un sens de rotation. Quand deux coureurs se rencontrent, ils font demi-tour et repartent immédiatement. Tous les coureurs vont à la même vitesse, et cette vitesse reste constante. Montrer qu’au bout d’un certain temps, tous se retrouvent à leur point de départ.

Involutions et séries entières

Soit {X} un ensemble fini.
On dit que {f\colon X \rightarrow X} est une involution de {X} si {f\circ f = \text{Id}}.
Pour {n\in\mathbb{N}}, on note {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0} = 1}.
1. Calculer {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer que : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^*,\;I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que la série entière {S\colon x\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} possède un rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1 + x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.