Tag Archives: Dénombrements

Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album.
Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance. …Lire l’article…

Le dernier non effacé

On écrit à la suite tous les entiers de {1} jusqu’à {2017}.
On les efface de {3} en {3} : d’abord {1}, puis {4}, puis {7}, etc.
On recommence sur la liste restante 2,3,5,6,8,9,11,\ldots et ainsi de suite.
Quel est le dernier nombre affiché, et au bout de combien d’itérations?
Illustrer tout cela avec Python.

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Les coureurs

En {n} points distincts d’une piste circulaire, {n} coureurs sont prêts à partir.
Au top départ, chacun démarre en choisissant aléatoirement un sens de rotation.
Quand deux coureurs se rencontrent, ils font demi-tour et repartent immédiatement.
Tous les coureurs vont à la même vitesse, et cette vitesse reste constante.
Montrer qu’au bout d’un certain temps, tous se retrouvent à leur point de départ.

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La dernière moyenne

On écrit une liste de n nombres réels.
On en efface deux, pris au hasard, pour les remplacer par leur demi-somme.
On répète cette opération jusqu’à ce qu’il reste un seul réel X.
Quelle est la valeur minimum possible pour X? Illustrer avec Python.

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Pavage par des dominos

Soit {{\mathcal U}_{n}} une surface rectangulaire de 4*n cases.
Soit {u_{n}} le nombre de façons de remplir {{\mathcal U}_{n}} par des dominos (horizontaux ou verticaux).
On voit ci-dessous un exemple de remplissage du rectangle {{\mathcal U}_{9}}.
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  1. 1. Trouver une relation de récurrence vérifiée par les {u_{n}}.
    Indication : comment la dernière colonne a-t-elle été remplie?
  2. 2. Écrire une fonction Python permettant de calculer {u_n}.
    Vérifier, par exemple, que {u_{30}=21096536145301}.
  3. 3. On définit le polynôme {P(x)=x^4-x^3-5x^2-x+1}
    Déterminer les racines {x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}\lt x_{4}} de P.
    Vérifier numériquement avec Python.
  4. Prouver que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n}=\dfrac1{\sqrt{29}}(-x_{1}^{n+1}-x_{2}^{n+1}+x_{3}^{n+1}+x_{4}^{n+1})}
  5. 4. Montrer que, sur un intervalle à préciser: {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}x^n=\dfrac{1-x^2}{P(x)}}


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Involutions et séries entières

Soit {X} un ensemble fini.
On dit que {f\colon X \rightarrow X} est une involution de {X} si {f\circ f = \text{Id}}.
Pour {n\in\mathbb{N}}, on note {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0} = 1}.

1. Calculer {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer que : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^*,\;I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que la série entière {S\colon x\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} possède un rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1 + x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.


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