Mot clef : Dénombrements

Tirage de boules impaires

Une urne contient {2n} boules numérotées de {1} à {2n}.
On tire toutes les boules successivement et sans remise. Dans cet exercice on s’intéresse à des événements relatifs à l’apparition des boules de numéro impair dans le tirage.

Des livres sur une étagère

On range {n} livres au hasard sur une étagère, dont {a} sont d’un auteur A, les autres étant d’auteurs tous différents. Donner la probabilité qu’au moins {m} livres de A soient côte à côte dans les cas suivants :
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}

Femmes célibataires non syndiquées

Dans une entreprise de 800 employés, il y a : 300 hommes, 352 syndiqué(e)s, 424 marié(e)s, 188 hommes syndiqués, 166 hommes mariés, 208 syndiqué(e)s et marié(e)s, 144 hommes mariés syndiqués. Combien y a-t-il de femmes célibataires non syndiquées?

Nombres de Bell, formule de Dobinksi

On note {B_n} le nombre de partitions d’un ensemble à {n} éléments.
On montre la relation {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k}, puis l’égalité {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}\; x^n=e^{e^x-1}}.
On termine par {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).

Probabilité de tirages monotones

On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.

Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album.
Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.

Le dernier non effacé

On écrit à la suite tous les entiers de {1} jusqu’à {2017}. On les efface de {3} en {3} : d’abord {1}, puis {4}, puis {7}, etc. On recommence sur la liste restante 2,3,5,6,8,9,11,\ldots et ainsi de suite. Quel est le dernier nombre affiché, et au bout de combien d’itérations? Illustrer tout cela avec Python.

Les coureurs

En {n} points distincts d’une piste circulaire, {n} coureurs sont prêts à partir.
Au top départ, chacun démarre en choisissant aléatoirement un sens de rotation. Quand deux coureurs se rencontrent, ils font demi-tour et repartent immédiatement. Tous les coureurs vont à la même vitesse, et cette vitesse reste constante. Montrer qu’au bout d’un certain temps, tous se retrouvent à leur point de départ.

La dernière moyenne

On écrit une liste de n nombres réels. On en efface deux, pris au hasard, pour les remplacer par leur demi-somme. On répète cette opération jusqu’à ce qu’il reste un seul réel X. Quelle est la valeur minimum possible pour X? Illustrer avec Python.

Pavage par des dominos

On s’intéresse au nombre u_n de façons de remplir un rectangle 4\times n par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les {u_{n}}. On écrit une fonction Python calculant {u_n}. On donne une expression des u_n et on étudie leur série génératrice.