Mot clef : Algèbre linéaire

Endomorphismes tels que f2 = -Id

Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.

Indépendance de formes linéaires

Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.

Diagonalisation et hyperplans stables

Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}, avec {n\ge1}. Montrer que (a)\Leftrightarrow(b) :
(a) l’endomorphisme {f} est diagonalisable,
(b) il existe {n} hyperplans {H_{1},\cdots,H_{n}} stables par {f} tels que {H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}.

Racine carrée de la dérivation?

Soient {E_{1}} le plan de {E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})} engendré par x\mapsto\sin x et x\mapsto \cos x.
Existe-t-il {u\in{\mathcal L}(E_1)} tel que : {\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}?
Existe-t-il {v\in{\mathcal L}(E)} tel que : {\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}?

Commutant d’un nilpotent

Soit {u \in{\mathcal L}(E)}, avec \dim(E)=n. On suppose {u^{n}=0} et {u^{n-1}\ne0}.
Déterminer les sous-espaces vectoriels de {E} stables par {u}.
Déterminer {\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}. Quelle est sa dimension?

Isomorphisme entre L(E) et E^n

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {(e_{k})_{1\le k\le n}} dans {E}.
Soit {\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}} défini par {\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}. Montrer que {\varphi} est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si {(e_{k})_{1\le k\le n}} est une base de {E}.