Mot clef : Algèbre linéaire

Forme linéaire, matrices semblables

Soit {\varphi} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
1. Montrer : {\exists\,!\,\,A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}.
2. On suppose que : {\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\forall\, P \in \text{GL}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}.
\quadMontrer : {\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}),\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}.

Polygônes réguliers

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2015)
Soit n\in\mathbb{N}, n\ge 3. On pose \omega=\text{e}^{2i\pi/n}
Soit {W_{n}= (\omega^{r(s-1)})} (avec {1\le r\le n-2} et {1\le s\le n}) dans {{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}.
1. Déterminer le rang de {W_{n}}.
2. Vérifier que : {\forall\, k\in [[1,n- 1]],\;\displaystyle\sum_{\ell=0}^{n-1}\omega^{k\ell} = 0}. Donner une base de {\text{Ker}(W_{n})}.
3. Caractériser les polygones réguliers à {n} sommets de sens direct.