Problèmes d’approfondissement

Je mets sur cette page des problèmes de mathématiques, considérés comme des problèmes d’approfondissement, tous accompagnés d’un corrigé très détaillé.
Ces problèmes sont peut-être devenus un peu difficiles avec l’évolution des programmes, mais je pense qu’ils peuvent encore intéresser des étudiants très motivés.

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Logique, ensembles, applications

Problèmes de logique
Pavages et clans
Filtres et ultrafiltres
Itérées d'une application d'un ensemble fini
Théorème de Cantor-Bernstein
Équations dans P(E)
Trois relations identiques dans P(E)
Véridiques menteurs et changeants

Entiers naturels, dénombrements, récurrences

Bijections de N^k sur N
Cycles et nombres de Stirling
Petite encyclopédie des nombres de Catalan
Nombres de Stirling de seconde espèce
Récurrences de bon niveau

Nombres réels ou complexes

Fractions continues
Pépites extraites du nombre d'or
Suite de Fibonacci
Entiers de Gauss
Homographies du plan complexe
Exercices de bon niveau sur les nombres réels

Structures algébriques

Valeurs absolues sur Q
Polynômes trigonométriques positifs
Sous-groupes de R+ et morphismes croissants
Sous-groupes distingués
Idéaux et blocs dans un anneau
Groupes ordonnés
Une structure algébrique
Dérivations dans un anneau

Arithmétique

Arithmétique des anneaux intègres
Structure des groupes abéliens finis
Extensions quadratiques de Q
Fonctions arithmétiques multiplicatives
Polynômes cyclotomiques
Sous-groupes et arithmétique
Entiers parfaits pairs
Le postulat de Bertrand
Inégalités de Chebyshev et applications
L'indicatrice d'Euler

Géométrie, arcs du plan

Faisceaux de cercles
Point de Fermat d'un triangle
Droite de Simson et cercle de Miquel
Théorème de Morley
Exercices sur les coniques
Une famille d'arcs paramétrés
Développantes d'astroïde
Propriétés de la cardioïde
Podaires d'une parabole
Étude de la deltoïde