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Inversion d’une matrice

Soit si et si .
Calculer l’inverse de la matrice .

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La comète de Goldbach

On va utiliser deux variables globales: l’une (nommée ) contenant l’ensemble des « premiers nombres premiers connus » (à un moment donné de la session de travail) et l’autre (nommée ) contenant le plus grand élément figurant dans cet ensemble.
Pour commencer on pose et .

  1. Écrire une fonction prenant en argument un entier et renvoyant si est divisible par au moins un des éléments de (et sinon).
  2. Écrire une fonction prenant en argument un entier et actualisant la variable globale pour qu’elle reçoive l’ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à (et actualisant par la même occasion).
  3. La conjecture de Goldbach affirme que tout entier pair peut s’écrire comme la somme de deux entiers premiers.
    Écrire une fonction prenant en argument un entier (supposé pair) et renvoyant la liste des couples d’entiers premiers tels que .
  4. On appelle comète de Goldbach le nuage des points , où décrit les entiers pairs dans un certain intervalle et où désigne le nombre de façons d’écrire comme la somme de deux nombres premiers. Écrire une fonction prenant en argument un entier et traçant la comète de Goldbach dans . Tracer cette comète pour , et faire un voeu.

Euler 034

Le nombre est la somme des factorielles de ses chifres: .
Trouver tous les entiers () qui ont cette propriété.

Euler 033

Trouver les couples avec , s’écrivant et en base 10, et telle que (exemple ). On ne retiendra pas les solutions où , qui sont considérées comme évidentes.

Euler 032

L’égalité exprime en utilisant une fois et une seule tous les chiffres de à . Trouver la somme des entiers qui ont cette propriété de , donc qui peuvent s’écrire , où la représentation décimale de fait apparaître une fois et une seule chaque chiffre de à .

Euler 031

Soit une liste de valeurs faciales de pièces, triée dans l’ordre croissant. De combien de façons peut-on payer une somme avec des pièces de la valeur faciale indiquée dans la liste ?
Indication: avec et le résultat est .

Euler 030

Donner la liste des entiers positifs qui sont égaux à la somme des puissances cinquièmes de leurs chiffres.
Indication: on considère que 1 n’est pas solution, et la somme des solutions vaut alors 443839.

Euler 029

Combien l’ensemble des avec entiers, comporte-t-il d’entiers distincts?
Indication: si , on trouve .

Euler 026

On dira que les répresentations décimales de et sont finies car elles aboutissent à une répétition de décimales nulles.
En revanche, celle de est infinie: elle s’écrit , où désigne la répétition indéfinie du chiffre .
La représentation décimale de s’écrit , en notant la répétition indéfinie des chifres .
On exprimera cette situation en disant que le développement de est ultimement périodique de période .

Problème: on se donne un entier . Pour quelle valeur de , avec , la période ultime de est-elle la plus élevée?

Indication: pour , la réponse est .

Euler 025

La suite de Fibonacci est définie par , et la relation pour tout de .
Quel est l’indice du plus petit comportant chiffres?
Pour la réponse est .