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Une série génératrice

Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}. En particulier {a_0=a_1=1}.
Soit {R} le rayon de convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}. Montrer {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {\forall n\ge 2,\;\;na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}
(pour une preuve de ce résultat, voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R} et exprimer {f(x)} à l’aide de fonctions usuelles.

Un système différentiel

Soient {n} dans {\mathbb{N}^{*}} et {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. Soit {(e_{k})_{1\le k\le n}} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}.
Pour {k\in[\![1,n]\!]}, soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)} la matrice de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}, avec {1 \le k \le n}.
1. Montrer que {X} est définie et que : {\forall t \,\in\mathbb{R},\;\det(X(t))\ne 0}.
2. Établir une équation différentielle simple vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.

Une approximation quadratique

Pour P,Q dans \mathbb{R}[X], on pose {\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.
  1. Montrer que c’est un produit scalaire. Calculer {\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)} pour {(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}
  2. On définit {f\colon (a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n\mapsto{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}.
    Montrer que f possède un minimum sur {\mathbb{R}^{n}}, et le calculer.

Série et produit infini

Soient {x\in\,\mathbb{R}^{+*}} et, pour {n\in\,\mathbb{N}^{*}}, {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.

  1. Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\bigl(\ln(u_{n+1})-\ln(u_{n})\bigr)}. En déduire {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
  2. Trouver {\alpha\in\mathbb{R}} tel que la série de terme général {v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)} converge.
  3. En déduire qu’il existe un réel {A > 0} tel que {u_{n}\sim An^{\alpha}} quand {n\to+\infty}.