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Calcul d’une espérance

Une urne contient {b} boules blanches et {r} boules rouges, avec {b\ge1} et {r\ge1}.
On effectue une succession de tirages d’une boule de la façon suivante :
– si la boule tirée est blanche, on s’en débarrasse;
– si elle est rouge, on la remet dans l’urne.
Déterminer l’espérance du numéro X du tirage de la dernière boule blanche.

Une série génératrice

Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}. En particulier {a_0=a_1=1}.
Soit {R} le rayon de convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}. Montrer {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {\forall n\ge 2,\;\;na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}
(pour une preuve de ce résultat, voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R} et exprimer {f(x)} à l’aide de fonctions usuelles.

Un système différentiel

Soient {n} dans {\mathbb{N}^{*}} et {A} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. Soit {(e_{k})_{1\le k\le n}} la base canonique de {\mathbb{R}^{n}}.
Pour {k\in[\![1,n]\!]}, soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)} la matrice de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}, avec {1 \le k \le n}.
1. Montrer que {X} est définie et que : {\forall t \,\in\mathbb{R},\;\det(X(t))\ne 0}.
2. Établir une équation différentielle simple vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.