Exercice 1. Soit {E} un espace vectoriel normé. Montrer que tout fermé {X} de {E} peut s’écrire comme l’intersection d’une suite décroissante d’ouverts {\Omega_{n}}. |
Exercice 2. Soit {X} une partie d’un espace vectoriel normé {E} et soit {\text{int}(X)} l’ensemble de ses points intérieurs. Montrer que {\text{int}(X)} est le plus grand ouvert inclus dans {X}, et que {\text{int}(X)=X} si et seulement si {X} est ouvert. |
Exercice 3. Soit {X} une partie de l’espace vectoriel normé {E} et soit {\text{adh}(X)} l’ensemble de ses points adhérents. Montrer que \text{adh}(X) est le plus petit fermé contenant {X}, et que {\text{adh}(X)=X} si et seulement si {X} est fermé. |
Exercice 4. Soit {E,F} deux espaces vectoriels normés de dimension finie. Soit {f\colon E\rightarrow F} une application continue.
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