Exercice 1. Soit {E} un espace vectoriel normé. Soit {a,b} dans {E} et {r,s} dans {\mathbb{R}^{+*}}. Montrer que : {B(a,r)+B(b,s)=B(a+b,r+s)} |
Exercice 2. Soit {N} et {N'} deux normes sur {E}. On suppose {B(0,1)\subset B'(0,1)}. Montrer : {\forall\, x\in E,\;N'(x)\le N(x)} |
Exercice 3. Soit {E} un espace vectoriel normé. Soit {F} un sous-espace de {E}, contenant une boule ouverte de rayon R\gt 0. Montrer {F=E}. |
Exercice 4. Soit {E} un espace vectoriel normé.Montrer que toute boule (ouverte ou fermée) de rayon {r>0} est une partie bornée de diamètre {2r}. |
Exercice 5. Pour tous réels {x,y}, on pose : {N(x,y)\!=\!\displaystyle\sup_{0\le t\le 1}|x+ty|}Montrer que {N} est une norme. Représenter la boule unité fermée de centre {0}. |