Quand le nombre d’urnes est infini

Publié le 09/07/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2016)

  1. Calculer l’intégrale {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}(1-x)^{n}\,\text{d}x}, avec {n\in\mathbb{N}}.
  2. Soit {p\in \mathbb{N}^{*}}. On dispose de {p} urnes numérotées de {1} à {p}.
    Pour {1\le k\le p}, l’urne n°{k} contient {k} boules noires et {p-k} boules blanches.
    On choisit au hasard une urne puis on y effectue des tirages avec remise.
    On note {A_{n,p}} : « après {2n} tirages, on a obtenu {n} boules noires ».
    Calculer {\mathbb{P}(A_{n,p})}, puis {\displaystyle\lim_{p\rightarrow+\infty}\mathbb{P}(A_{n,p})}.

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