L’intégrale de Lejeune-Dirichlet

Publié le 24/07/17

Montrer que {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\text{e}^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t^{2}}\,\text{d}t} est {\mathcal{C}^{2}} sur {\mathbb{R}^{+*}}, et calculer {g''(x)}.

Préciser les limites de {g} et {g'} en {+\infty}, puis calculer {g(x)} pour {x>0}.

Montrer que {g} est continue en {0}.

Calculer séparément {g(0)} et en déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé