L’intégrale de Gauss

Publié le 23/07/17

Dérivabilité de {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{-(1+t^{2})x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}. Préciser {g(0)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)}.

Soit {h(x)=\Big(\displaystyle\int_{0}^{x}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u\Big)^{2}}. Prouver que {h(x)+g(x^{2})} est constante.

En déduire {\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\text{e}^{-u^{2}}\,\text{d}u=\sqrt{\pi}}.

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