Une famille de matrices 3×3

Publié le 07/07/17

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2016)
On considère {M(a)=\begin{pmatrix}1-2a & a & a \\ a & 1-2a & a \\ a & a & 1-2a \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}.

  1. Montrer que, pour tous {a}, {b\in \mathbb{R}}, {M(a)M(b)=M(a+b-3ab)}.
  2. À quelle(s) condition(s) la matrice {M(a)} est-elle inversible ?
  3. Trouver une suite {(u_{n})} telle que {M(a)^{n}=M(u_n)} pour tout {n\in \mathbb{N}}.

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