Sommes harmoniques et séries

Publié le 19/06/17

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013)

  1. On pose {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}. Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}} converge.
  2. Pour {n\ge1}, soit {H_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}. Montrer que : {H_{n}\sim\ln(n)}.
  3. Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(H_{2n+1}-H_{n})=\ln(2)}. En déduire {\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}u_{k}}.

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