Série de fonctions, étude aux bornes

Publié le 13/06/17

(cet exercice est issu de l’oral Ccp 2013)
Soit {a\in\mathbb{R}}. Pour {x>0}, on pose {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}.

  1. Déterminer suivant {a} le domaine de définition de {S}.
    Dans tout la suite, on suppose {\left|{a}\right|\lt 1}.
  2. Montrer que {S} est continue sur {\mathbb{R}^{+*}}.
    Déterminer une relation entre {S(x+1)} et {S(x)}.
  3. Déterminer un équivalent de {S} en {0^{+}}.
    Déterminer la limite de {S} en {+\infty}.

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