Récurrence vectorielle

Publié le 22/06/17

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013)
Soit {U_{n}=\begin{pmatrix}u_{n}\\ v_{n}\\ w_{n}\\ x_{n}\end{pmatrix}} avec {U_{n+1}=AU_{n}}, où {A=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2&1&1&1\\1&2&1&1\\1&1&2&1\\1&1&1&2\end{pmatrix}}.

  1. La matrice {B=5A} est-elle diagonalisable?
    Déterminer son sepctre et la dimension des espaces propres?
  2. Déterminer un polynôme annulateur de degré {2} de {B}.
    En déduire: {\exists\,(a_{n}),\;\exists\,(b_{n}),\;\forall\, n\in\mathbb{N},\;B^{n}=a_{n}B+b_{n}I_{4}}.
  3. Étudier la convergence de {(a_{n}5^{-n})} et de {(b_{n}5^{-n})}.
    Étudier la convergence de {(u_{n})}, {(v_{n})}, {(w_{n})} et {(x_{n})}.

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