Fonctions harmoniques homogènes

Publié le 03/06/17

(cet exercice – très long – est issu de l’oral X-Cachan Psi 2016)
Soit {m\in \mathbb{N}^*} et {f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})} tels que, {\forall\, (x,\ y)\in \mathbb{R}^{2}}, {\forall\, t\in\mathbb{R}} : {f(tx,ty)=t^{m}f(x,y)\ (\star)\quad\text{et}\quad\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)+\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=0\ (\star\star)}

  1. Montrer que : {x\dfrac{\partial f}{\partial x}+y\dfrac{\partial f}{\partial x}=mf}.

    Montrer que : x^{2}\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}+2xy\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}+y^{2}\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=m(m-1)f

  2. Soit {h(\theta)=f(\cos \theta,\sin \theta)} . Vérifier que: {h^{\prime \prime}+m^{2}h=0}.
  3. En déduire que {f} est une fonction polynomiale en {x} et {y}.
  4. Déterminer les fonctions vérifiant {(\star)} et {(\star\star)}.

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