Étude d’un temps d’attente

Publié le 06/06/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2016)
Soit {(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}} des variables aléatoires indépendantes.

On suppose qu’elles ont même loi : {\mathbb{P}(X_{i}=1)=p} ; {\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}.
Pour {n}, on pose {k\in \mathbb{N}^{\star}}, {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}} et {Y_{k}=\inf \{n\in \mathbb{N}^{\ast},S_{n}\geq k\}}.

  1. Montrer l’existence de {Y_{k}}. Écrire une fonction Python \texttt{Yk(k,p)}.
  2. Écrire une fonction \texttt{mk(p)} donnant une valeur approchée de {m_{k}=E(Y_{k})}.

    Tracer les points {(k,m_{k})} pour {1\le k\le 100} et {p\in \{0.1,0.3,0.5,0.7,0.9\}}.

  3. Montrer : {\mathbb{P}(Y_{k}=n)=p\,\mathbb{P}(Y_{k-1}=n\!-\!1)\!+\!(1\!-\!p)\,\mathbb{P}(Y_{k-2}=n-1).}
  4. Montrer que {\text{E}(Y_{k})=p\,\text{E}(Y_{k-1})+(1\!-\!p)\,\text{E}(Y_{k-2})+1}.
  5. Montrer que {\text{E}(Y_{k})\sim kC_{p}} quand {k\to+\infty}, avec {C_{p}} fonction de {p}.

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