Équation différentielle y″=(1+x4)y

Publié le 15/06/17

(cet exercice est issu de l’oral Centrale Psi 2016)
On considère l’équation différentielle {(\star):\; y''=(1+x^{4})y}.

  1. Montrer que {(1)} possède une unique solution {y} telle que {y(0)=y^{\prime}(0)=1}.
  2. Soit {f} une solution de {(\star)}. On suppose {\dfrac{1}{f^{2}}} intégrable sur {\mathbb{R}^+}.
    Montrer que {x\mapsto f(x)\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!\dfrac{\,\text{d}t}{f^{2}(t)}} est également solution de {(1)}
  3. Soit {f} véfiriant {(\star)} et {f(0)=f^{\prime}(0)=1}. Montrer que {\dfrac{1}{f^{2}}} est intégrable sur {\mathbb{R}^+}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé