Égalités dans un jeu à deux

Publié le 03/06/17

(cet exercice est issu de l’oral X-Cachan Psi 2016)
Pierre et Marie jouent des parties indépendantes numérotées {1, 2, \cdots }.
La probabilité que Pierre (resp. Marie) gagne une partie est {p} (resp. {q=1-p}).
On note {a_{2n}} la probabilité qu’il y a ait égalité à la date {2n}.
Soit {b_{2n}} la probabilité que la première égalité ait lieu à la date {2n}.
On pose {A(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_{2n}x^{2n}} et {B(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_{2n}x^{2n}}.

  1. Exprimer {a_{2n}} en fonction de {n}.
  2. Déterminer le rayon de convergence {R} de la série entière {A(x)} .
    Pour quelles valeurs de {p} la fonction {A} est-elle définie en 1?
  3. Monter que: {\forall\, x\in\, ]-R,R[,\;A(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-4pqx^{2}}}-1}
  4. Établir une identité vérifiée par {A} et {B}, puis expliciter {B(x)}.
  5. Déterminer la probabilité qu’il n’y ait jamais égalité.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé