Déterminant et racines d’un polynôme

Publié le 09/06/17

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2010 & 2013)
Soit {P_{n}=X^{n}-X+1}, avec {n\ge2}.

  1. Montrer que {P_{n}} possède {n} racines {z_{1},\ldots,z_{n}} distinctes dans {\mathbb{C}}.
  2. Calculer {\sigma_{n}=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}z_{j}} et {\sigma_{n-1}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\displaystyle\prod_{i\ne j}z_{i}}.
  3. Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, avec {\begin{cases}a_{ii}=1+z_{i}\\a_{ij}=1\text{\ si\ }i\ne j\end{cases}}. Calculer {\det(A)}.

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