Un exercice très improbable

Publié le 19/05/17

(cet exercice – étrange – est extrait de l’oral XCachan Psi 2016))
Les variables aléatoires {X_{1}} et {X_{2}} suivent les lois \mathcal{P}(\lambda_1) et \mathcal{P}(\lambda_2).
La variable aléatoire {Y} est à valeurs dans {\{-1,1\}}, et on note {p=\mathbb{P}(Y=-1)}.
On suppose {X_{1},X_{2},Y} indépendantes. Soit {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.

  1. Donner la probabilité pour que {M} soit diagonalisable dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}.
  2. Donner la probabilité pour que les valeurs propres de {M} soient réelles.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé