Une suite récurrente de fonctions

Publié le 16/05/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2012 & 2015)
On définit les fonctions f_n sur {\mathbb{R}^{+}} par {f_{0}=0} et {f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}.

  1. Montrer que {(f_{n})_{n\ge0}} converge simplement vers une fonction {f} à préciser.
    La convergence est-elle uniforme sur {\mathbb{R}^{+}}?
  2. Prouver que : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\forall\, t\in\mathbb{R}^{+*},\;\left|{f_{n+1}(t)-f(t)}\right|\le\dfrac{\left|{f_{n}(t)-f(t)}\right|}{f(t)}}.
    En déduire que la convergence est uniforme sur {[a,+\infty[} pour tout {a>0}.

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