Série entière et série numérique

Publié le 17/05/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
On pose {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}. Déterminer le rayon de convergence {R} de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}} (considérer une équation différentielle).
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