Série entière et produit de Cauchy

Publié le 03/05/17

(cet exercice est issu de l’oral Ccp Psi 2013)
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}, et {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}}.

  1. Montrer que {0\le u_{n}\le4^{n+1}n!} pour tout {n}.
  2. Montrer que {f'=f^{2}} sur un intervalle à préciser.
    Exprimer {f} à l’aide de fonctions usuelles.

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