Une série de fonctions alternée

Publié le 16/05/17

(cet exercice est issu de l’oral Mines-Ponts Psi 2015)
Soit {S\colon x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.

  1. Montrer que {S} est définie et de classe {{\mathcal C}^{1}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
  2. Étudier les variations de {S} et préciser les limites de {S} en {0} et {+\infty}.
  3. Montrer que: {\forall\, x\in\mathbb{R}^{+*},\; xS(x) - S(x + 1) = 1\text{/e}}.
  4. Trouver un équivalent de {S} en {0} et en {+\infty}.

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